Redfox Homeschool

Основні правила диференціювання функцій

18 Кві 2021
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ. 10 клас
image

Диференціювання — це метод обчислення співвідношення приросту залежної змінної y по відношенню до приросту незалежної змінної x. Це співвідношення приростів називається похідною функції y по змінній x. Якщо говорити більш точно, залежність y від x означає, що y функція від x. Ця функціональна залежність часто позначається y = ƒ(x), де ƒ позначає функцію. Якщо x та y дійсні числа, і якщо графік функції y зображено відносно x, похідна дорівнює нахилу дотичної до цього графіка в кожній точці.

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то
похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Зауваження. Похідну від функції , де , зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини  на функцію u (x):

.

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

 

Таким чином, .

Похідна складної функції. Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція  — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 6. Якщо у = f (u) та  — диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (xy) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційовна.

  Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (xy) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

Приклад. Знайти  з рівняння .

   Оскільки у є функцією від х, то у2 розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .

Продиференціювавши по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції

у = f (х) та .

Теорема 7. Похідна  оберненої функції  по змінній у дорівнює оберненій величині похідної  від прямої функції .

Приклад. Обчислити похідну для функції .

l Задана функція обернена до функції .

Згідно з теоремою 7 можна записати

.

Звідси .

Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо

.

Похідна параметрично заданої функції. Нехай функцію  від  задано параметричними рівняннями:

.

Припустимо, що функції  мають похідні і що функція  має обернену функцію , яка також є диференційовною. Тоді визначену параметричними рівняннями функціо-
нальну залежність  можна розглядати як складну функцію  ( — проміжний аргумент).

На підставі теорем 6 та 7 маємо:

.

Звідки  або .

Знайдена формула дає можливість знаходити похідну  від параметрично заданої функції, не знаходячи явної залежності 

Приклад. Функцію  від  задано параметричними рівняннями:

.

Знайти похідну : а) при будь-якому ; б) при .

а) ;

б) .